Tempo QUÂNTICO DE GRACELI.

VARIÁVEL GRACELI TEMPORAL ESPACIAL QUÂNTICA .

/

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

x' = \frac{x} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} - \frac{vt} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

/

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

t' = - \frac{vx/c^2} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} + \frac{t} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} \,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

x' = \cos (i \theta)\ x + \sin (i \theta) \ i c t\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

i c t' = -\sin (i \theta) \ x + \cos (i \theta) \ i c t\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

\cosh \theta = \frac{1} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

\sinh \theta = \frac{v/c} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1\,

/

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

\cos (i \theta) = \cosh \theta\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

\sin (i \theta) = i \sinh \theta\,

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Tempo imaginário foi um artifício de cálculo proposto por Minkowski logo após a publicação da Teoria da Relatividade Especial por Einstein, que consistia em considerar o continuum espaço-tempo como um espaço euclidiano de quatro dimensões, em que a quarta dimensão "espacial" seria a coordenada i c t, ou seja, a unidade imaginária multiplicada pela velocidade da luz e o tempo. Este conceito se tornou obsoleto quando foi publicada a Teoria da Relatividade Geral.[1]

Pelo artifício de Minkowski, as fórmulas da transformação de Lorentz:

x' = \frac{x} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} - \frac{vt} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

t' = - \frac{vx/c^2} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} + \frac{t} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} \,

não seriam nada mais do que uma rotação de coordenadas através de um ângulo imaginário:

x' = \cos (i \theta)\ x + \sin (i \theta) \ i c t\,

i c t' = -\sin (i \theta) \ x + \cos (i \theta) \ i c t\,

em que o "ângulo" $\theta\,$ seria o arco hiperbólico cujos cosseno e seno hiperbólicos seriam, respectivamente:

\cosh \theta = \frac{1} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

\sinh \theta = \frac{v/c} { \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\,

e, como pode ser facilmente verificado, temos que:

\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1\,

e a substituição de $\theta\,$ nas fórmulas da rotação, após aplicar as identidades

\cos (i \theta) = \cosh \theta\,

\sin (i \theta) = i \sinh \theta\,

recompõe a transformação de Lorentz.[1]